Distribusi Peluang Teoritis

Distribusi Peluang Teoritis

1.         Pendahuluan

Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.

.

·    Peubah Acak

Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata  disebut : PEUBAH ACAK = VARIABEL ACAK = RANDOM VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya sebagai STOCHASTIC VARIABLE ) 

·    X dan x

Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)

Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).

Contoh 1 :

Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

dimana G = GAMBAR  dan  A = ANGKA

X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

          ¯        ¯         ¯       ¯        ¯         ¯        ¯        ¯

          3         2        2        2         1         1        1         0

Perhatikan bahwa X{0,1,2,3}

Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3

·    Kategori Peubah Acak

Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi:

a.         Peubah Acak Diskrit  :          

nilainyaberupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.

            ®        untuk hal-hal yang dapat dicacah

                        Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah

                                                Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang

           

b.         Peubah Acak Kontinyu:       

nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan tidak terhingga

(memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)

®                untuk hal-hal yang diukur

        (jarak, waktu, berat, volume)

            Misalnya          Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km

                                    Waktu produksi per unit = 15.07 menit

                                    Berat  bersih produk = 209.69 gram

                                    Volume kemasan = 100.00 cc            

·          Distribusi Peluang Teoritis

Tabel atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya.

Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal :

a. Distribusi Peluang Diskrit   : Binomial, Poisson

b. Distribusi Peluang Kontinyu   : Normal*) t, F, c²(chi kuadrat)

2.         Distribusi Peluang Diskrit

2.1         Distribusi Peluang Binomial

·    Percobaan Binomial

Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan diulang n kali

2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke  dalam 2 kelas;

           Misal:  "BERHASIL" atau  "GAGAL"  

   ("YA" atau "TIDAK";  "SUCCESS" or "FAILED")

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.

    Peluang gagal = q = 1- p.

4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial 

                             untuk x = 0,1,23,...,n

n: banyaknya ulangan

x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X

p: peluang berhasil pada setiap ulangan

q: peluang gagal =  1 - p pada setiap ulangan

Contoh 2 :

Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!

Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"

x = 3

n = 5 pelemparan diulang 5 kali

p =                           q =  1-  =

                     =  = 10 ´ 0.003215...= 0.03215...

Contoh 4b:

Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?

Kejadian yang ditanyakan ® Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS

Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60

p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40                   x = 2,                           n = 5

b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ....................

• Tabel Peluang Binomial

Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal  157-162, Statistika 2)

Cara membaca Tabel tersebut :

Misal :

           n          x          p = 0.10           p = 0.15           p = 0.20   dst

           

            5          0          0.5905             0.4437             0.3277

                        1          0.3280             0.3915             0.4096

                        2          0.0729             0.1382             0.2048

                        3          0.0081             0.0244             0.0512

                        4          0.0004             0.0020             0.0064

                        5          0.0000             0.0001             0.0003

           

Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000  hanya mendekati 1.0000)

x = 0    n = 5    p = 0.10                                   b(0; 5, 0.10) = 0.5905

x =1     n = 5    p = 0.10                                   b(1; 5, 0.10) = 0.3280

Jika 0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p)  =

b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)

= 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914

Contoh 5

Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi.

Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20  Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas :

a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi?

    (x = 0)

b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x >2)

c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x £ 3)

d. Ada 2 sampai 4  paket yang terlambat?(2 £  x  £ 4)

e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ³ 2)

Jawab

a. x = 0  ® b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)

b. x > 2 ® Lihat tabel dan  lakukan penjumlahan sebagai berikut :

                  b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20)  =

                  0.0512+ 0.0064 + 0.0003  = 0.0579

            atau .....

            ®  1 - b(x £ 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) +  b(1;  5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)=  1 - 0.9421 = 0.0579 

Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah

                                    Rata-rata   = np

                                    Ragam   s ²  = npq

n = ukuran populasi

p = peluang keberhasilan setiap ulangan

q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan

 

2.3       Distribusi Peluang Poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1.         Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil    percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah

2.         Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan       luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat   dan luas daerah yang sempit

3.         Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu             dan luasan tempat yang sama diabaikan

Definisi  Distribusi Peluang Poisson :

                        e : bilangan natural = 2.71828...         

                        x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel

                       m :  rata-rata keberhasilan

Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)

·    Tabel Peluang Poisson

Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)

Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial

Misal:              x          m = 4.5             m = 5.0

                        0          0.0111             0.0067

                        1          0.0500             0.0337

                        2          0.1125             0.0842

                        3          0.1687             0.1404

                        dst       dst                   dst

                        15        0.0001             0.0002

poisson(2; 4.5) = 0.1125

poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)

                               = 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736

poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)

                            atau

                            = 1 - poisson(x £ 2)

                            = 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]

                            = 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264

Contoh 6 :

Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman.  Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:

a. tidak ada kesalahan?(x = 0)

b. tidak lebih  dari 3 kesalahan?( x £ 3)

c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)

d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)

Jawab:

= 5

a. x = 0 dengan rumus?  hitung poisson(0; 5)

                  atau

              dengan Tabel Distribusi Poisson

                  di bawah x:0 dengan  = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067

b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson  hitung

                   poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)  =

                   0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650

c. x > 3   poisson( x 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +

                                                      poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)

                                    atau

                        poisson(x >3) = 1 - poisson(x3)

                                                    = 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) +                                                             poisson(3; 5.0)]

                                                   =  1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]

                                                   =  1 - 0.2650

                                                   =  0.7350

Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :

·         Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil  (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan  p dan kemudian menetapkan  m = n x p 

Contoh 7

Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?

Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah

p =  = 0.002                                           n = 5 000                     x > 3

jika diselesaikan dengan peluang Binomial  ® b(x > 3; 5 000, 0.002)

                                                                          tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus

                                                                          sangat tidak praktis.

p  =   0.002                                          n = 5 000         x>3

m  = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10

diselesaikan dengan peluang Poisson ® poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x £ 3) 

                        = 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)

                        = 1 - [0.0000 +  0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972

3          Distribusi Peluang Kontinyu

3.1       Distribusi Normal

·         Nilai Peluang peubah acak dalamDistribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped curve). 

·         Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, m dan s. 

·         Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu 

Perhatikan gambar di bawah ini:

 

 s                                                        

             

                                                               

                                                                     

                     

                                                         

                                                           m                                   x

                                   

Gambar1.        Kurva Distribusi Normal

Definisi Distribusi Peluang Normal

n(x; m, s) =                

untuk nilai x : -¥ < x < ¥                   e = 2.71828.....                        p = 3.14159...

m          : rata-rata populasi

s          : simpangan baku populasi

s²        : ragam populasi

·         Untuk memudahkan penyelesaian soal-soal peluang Normal, telah disediakan tabel nilai z  (Statistika2, hal 175)

Perhatikan dalam tabel tersebut :

1.         Nilai yang dicantumkan adalah nilai z

                                   

2.         Luas kurva yang dicantumkan dalam tabel = 0.50 (setengah bagian kurva normal)

 

                                                   0                                z

3.         Nilai z yang dimasukkan dalam tabel ini adalah luas dari sumbu 0 sampai dengan   nilai z

Dalam soal-soal peluang Normal tanda = . £ dan ³ diabaikan,  jadi hanya ada tanda <        dan  >

Cara membaca Tabel Nilai z

z          .00       .01       .02       .03       .04       .05       .06       .07       .08       .09

0.0     

0.1

0.2

 ::

1.0

1.1

1.2                                                                  0.3944

  :

3.4

Nilai 0.3944 adalah untuk luas atau peluang 0 < z < 1.25 yang digambarkan sebagai berikut

 

                                                  0         1.25

Gambar 2.       Peluang 0 < z < 1.25

Dari Gambar 2 dapat kita ketahui bahwa P(z >1.25 ) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056

                                                                                                                             

 

                                                  0         1.25

Gambar 3.       Peluang (z>1.25)

P(z < 25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                                            0       1.25

Gambar 4.       Peluang (z <1.25)

Luas daerah untuk z negatif dicari dengan cara yang sama, perhatikan contoh berikut :

 

P(-1.25 < z <0) = 0.3944        

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                              -1.25    0

Gambar 5.       Peluang (-1.25 < z < 0)

P(z >-1.25) =  0.5 + 0.3944 = 0.8944

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                             -1.25      0

Gambar 6.       Peluang (z>-1.25)

P(z < -1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                          

                                             -1.25      0

Gambar 7.       Peluang (z < -1.25)

Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z® z₁ < z < z₂, perhatikan contoh berikut :

P(-1.25<z<1.25) = 0.3944 + 0.3944 = 0.788

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                             -1.25      0      1.25

Gambar 8.       Peluang (-1.25<z<1.25)

P(-1.30 < z < -1.25) = 0.4032 - 0.3944 = 0.0088

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                      -1.30  -1.25      0    

Gambar 9.       Peluang(-1.30<x<1.25)

Peluang (1.25 < z < 1.35) = 0.4115 - 0.3944 = 0.0171

 

             

                                                                                                                                  

                     

                                                         

                                                           0      1.25    1.35

Gambar 10.     Peluang (1.25<z<1.35)

·         Untuk memastikan pembacaan peluang normal, gambarkan daerah yang ditanyakan!

Contoh 11 :

Rata-rata upah seorang buruh = $ 8.00 perjam dengan simpangan baku =  $ 0.60, jika terdapat 1 000 orang buruh, hitunglah :

a.  banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80

b.  banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30

c. .banyak buruh yang menerima upah/jam antara $ 7.80 sampai 8.30

m = 8.00                       s = 0.60

a.         x < 7.80

           

            P(x < 7.80) =  P(z < -0.33) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707 (Gambarkan!)

           

            banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80 = 0.3707 x 1 000

                                                                                                       =  370.7 = 371 orang

b.         x > 8.30

           

            P(x > 8.30) =  P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)

            Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari  $ 8.30  = 0.3085 x 1 000

                                                                                                       =  308.5 = 309 orang

c.         7.80 < x < 8.30

            z₁ = -0.33         z₂ = 0.50

            P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208 (Gambarkan)

            Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai   $ 8.30 

                                                                                                = 0.3208 x 1 000

                                                                                                  =  320.8 = 321 orang

·      Pendekatan untuk peluang Binomial

p bernilai sangat kecil dan n relatif besar dan

a)         JIKA rata-rata (m)   £ 20  MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi POISSON

            dengan            m = n ´ p

b)         JIKA rata-rata (m) > 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi NORMAL

dengan            m = n ´ p

                       

                       

Contoh 12 :

Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari lima pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang anda akan menjawab BENAR lebih dari 50 soal?

n = 300                        p = 1/5 = 0.20

q = 1 - 0.20 = 0.80

Kerjakan dengan POISSON

P(x >50, p = 0.20)                               m = n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40

Poisson (x  > 50; m = 40 ), m = 40 dalam TABEL POISSON menggunakan RUMUS., terlalu rumit!

KERJAKAN dengan NORMAL

P (x > 50, p = 0.20)                 m = n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40 

= 200 ´ 0.20 ´0.80 = 32

 =

P(x > 50 , p = 0.20) ®  P (z > ?)

z =

P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %

¯  selesai   ¯